Tal og algebra

Tal og algebra i 7.–9. klasse er regning med bogstaver og med alle slags tal: sæt tal ind i et udtryk, reducér med ens led og parenteser, brug kvadratsætningerne – og regn med decimaltal, brøker, negative tal, potenser og rødder i regnearternes rækkefølge. Hæfterne her er A4 til print med fire ark à 10 minutter, facit bagerst med hele udregningen og en lærervejledning med Fælles Mål. Eleven skriver svarene i sit eget hæfte.

Hvad er regnearternes hierarki?

Regnearternes hierarki er den rækkefølge, et regnestykke skal regnes i:

1. Parenteser
2. Potenser og rødder
3. Gange og division, fra venstre mod højre
4. Plus og minus, fra venstre mod højre

Eksempel: 3 + 4 · (−2)² = 3 + 4 · 4 = 3 + 16 = 19. Parentesen og potensen regnes først, så gange, til sidst plus.

Hvad giver minus 2 i anden?

−2² er −4, fordi potensen regnes før minus foran: −(2 · 2) = −4. Står minus inde i parentesen, er det hele tallet, der ganges med sig selv: (−2)² = (−2) · (−2) = 4. Forskellen er en kendt fejlkilde, og hierarkihæftet til 8. klasse har et helt ark om den.

Hvad betyder √ – og hvad er kvadratroden af 16?

√ er tegnet for kvadratrod. Kvadratroden af et tal er det tal, der ganget med sig selv giver tallet: √16 = 4, fordi 4 · 4 = 16. Kun kvadrattal (1, 4, 9, 16, 25 …) har en kvadratrod, der er et helt tal. √50 ligger mellem 7 og 8, fordi 7² = 49 og 8² = 64 – og den er irrational: den kan ikke skrives som en brøk. Kubikroden ∛ er det tal, der taget tre gange som faktor giver tallet: ∛64 = 4, fordi 4 · 4 · 4 = 64, og en terning på 64 cm³ har siden 4 cm.

Hvilke typer tal findes der?

• Naturlige tal: 1, 2, 3 og så videre
• Hele tal: også 0 og de negative tal, fx −3
• Rationale tal: tal, der kan skrives som en brøk, fx 3/4, 0,75 og √16 = 4
• Irrationale tal: tal, der ikke kan skrives som en brøk, fx √2 og √50
• Reelle tal: de rationale og de irrationale tal tilsammen

Hvad er standardform?

Standardform er et tal fra 1 til under 10 gange en potens af 10. Afstanden fra Jorden til Solen er ca. 150.000.000 km = 1,5 · 10⁸ km, og en bakterie er ca. 0,002 mm = 2 · 10⁻³ mm lang: den negative eksponent betyder, at der divideres med 10 så mange gange. I hæfterne skrives potenser med ^ (10^8), som på en computer.

Hvad betyder reduktion i matematik?

At reducere er at skrive et udtryk kortere uden at ændre dets værdi. Man samler ens led – x-led for sig og tal for sig – og hæver parenteserne:

• Ens led: 4c + 3 − c + 2 = 3c + 5
• Minus foran en parentes – alle fortegn inde i parentesen skifter: 9y − (2y − 5) = 7y + 5
• Tal foran en parentes – gang ind i hvert led: 3(y − 4) = 3y − 12
• Sæt uden for en parentes – den modsatte vej: 4y + 10 = 2(2y + 5)

Kontrollér en reduktion ved at sætte et tal ind på begge sider: giver de det samme, er reduktionen sandsynligvis rigtig.

Hvad er de tre kvadratsætninger?

• (a + b)² = a² + 2ab + b²
• (a − b)² = a² − 2ab + b²
• (a + b)(a − b) = a² − b²

De kan ses som arealer: et kvadrat med siden a + b deles i fire stykker – a², b² og to rektangler på a · b. Samme regler gør hovedregning nemmere: 51² = (50 + 1)² = 2500 + 100 + 1 = 2601, og 49 · 51 = (50 − 1)(50 + 1) = 2500 − 1 = 2499.

Hvad øves hvornår – tal og algebra i 7., 8. og 9. klasse?

Flere opgaver med tal: færdighedsregningen

Færdighedsregningens emnesæt har korte tempoprøver med de samme tal: negative tal i alle fire regningsarter i 7. klasse sæt 2, regningsarternes hierarki i 7. klasse sæt 3, brøkregning i 8. klasse sæt 1, potenser og kvadratrødder i 8. klasse sæt 2 og gange og dividere med 10, 100 og 1000 i 8. klasse sæt 3.

Sådan er hæfterne bygget op

Eksempelboksene viser metoden trin for trin med lighedstegn, og arkene har opgaver i prøvens former – afkrydsning med fem muligheder, hvor præcis én er rigtig, og brøken som svar, der ikke behøver være forkortet. Facit viser hele udregningen, så eleven kan se, hvor en fejl opstod. Kopiering til klassen er dækket af skolens aftale med Tekst & Node.